Question

तीसरे स्तम्भ के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके
$∆ = \begin{bmatrix} 1 & x & yz \\ 1 & y & zx \\ 1 & z & xy \end{bmatrix}$ का मान ज्ञात कीजिए।

Answer 1

Given :  Δ  = $\begin{bmatrix} 1 & x & yz \\ 1 & y & zx \\ 1 & z & xy \end{bmatrix}$

To find :  तीसरे स्तम्भ के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके Δ का मान ज्ञात कीजिए।

Solution:

Δ = a₁₃ A₁₃ + a₂₃A₂₃ + a₃₃ A₃₃

$\begin{bmatrix} 1 & x & yz \\ 1 & y & zx \\ 1 & z & xy \end{bmatrix}$

तीसरे स्तम्भ  के  अवयवों के  उपसारणिक

a₁₃   yz का उपसारणिक   M₁₃  = z - y

a₂₃   zx का उपसारणिक  M₂₃   =  z - x

a₃₃   zy का उपसारणिक  M₃₃   = y - x

तीसरे स्तम्भ के अवयवों के सहखण्ड

a₁₃  yz का सहखण्ड A₁₃  =  (-1)¹⁺³ *M₁₃ = z - y

a₂₃  zx का सहखण्ड A₂₃  =  (-1)²⁺³ *M₂₃ = x - z

a₃₃ xy का सहखण्ड A₃₃  =  (-1)³⁺³ *M₃₃ = y - x

Δ = a₁₃ A₁₃ + a₂₃A₂₃ + a₃₃ A₃₃

=> Δ = yz * (z - y)  + zx * (x - z) + xy(y - x)

=> Δ =  yz * (z - y)  + x( zx - z²  + y²  - xy)

=> Δ =  yz * (z - y)  + x( x(z - y) + (y +z )(y - z))

=> Δ =  yz * (z - y)  + x(y - z)(y + z - x)

=> Δ =(y - z) ( xy + xz  - x² - yz)

=>  Δ =(y - z) ( x(y - x) + z(x  - y))

=> Δ =(y - z) (x - y)(z - x)

=> Δ =(x - y)(y - z) (z - x)

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