Question

दो अंकों की उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए, जिनको $4$ से विभजित करने पर शेषफल $1$ हो।

Answer 1

हल :- 2 अंकों की प्रथम संख्या 10 तथा अन्तिम संख्या 99 है ।

अतः 2 अंकों की वह प्रथम संख्या जिसे 4 से विभाजित करने पर शेषफल 1 हो = 13

( क्योंकि 2 × 4 + 1 = 9 जिसमें 1 ही अंक है और 3 × 4 + 1 = 13 जिसमें 2 अंक हैं )

इसी प्रकार , 2 अंकों की वह अन्तिम संख्या जिसे 4 से विभाजित करने पर शेषफल 1 हो = 97

( क्योंकि 25 × 4 = 100 जी तीन अंकीय है और 24 × 4 + 1 = 97 जो दो अंकीय है ) ।

अभीष्ट संख्याएँ क्रमशः 13 , 17 , 21 , . . , 97 हैं ।

स्पष्ट है कि उक्त संख्याएँ समान्तर श्रेढी में हैं जिसके लिए प्रथम पद a = 13 तथा सार्वअन्तर d = 17 - 13 = 4

माना संख्याओं के इस अनुक्रम में पदों की संख्या n है

n वाँ पद = 97

a + (n - 1 ) d = 97

13 + ( n - 1 ) 4 = 97

( n - 1 ) 4 = 97 - 13 = 84

( n - 1 ) = 84/4 = 21

n = 22

•°• संख्याओं का योग

$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] \\ \\ = \frac{22}{2} [2 \times 13 + (22 - 1)4] \\ \\ = 11[26 + 84] \\ \\ = 11 \times 110 = 1210$

अतः 4 से विभाजित करने पर शेषफल 1 देने वाली अंकीय संख्याओं का योग 1210