Question

दर्शाइए कि $a_{1}$, $a_{2}$,..., $a_{n}$,..., से एक A.P. बनती है, यदि $a_{n}$ नीचे दिए अनुसार परिभाषित है:
(i) $a_{n} = 3+4n$
(ii) $a_{n}= 9-5n$
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए

Answer 1

इस समीकरण से एपी निकालने के लिए हम उनके अलग अलग मानकर देखेंगे कि सभी पदों में अंतर समान आ रहा है या नहीं

1) $a_{n} = 3+4n$

n = 1

$a_{1} = 3+4(1) = 7$

n =2

$a_{2} = 3+4(2) = 11$

n= 3

$a_{3} = 3+4(3) = 15$

तो हमने देखा कि सभी पदों का अंतर समान है तो इस प्रकार एपी हुई

7,11,15...

A.P. के 15 पदों का योग निकालने के लिए n पदों के योग का सूत्र इस्तेमाल करेंगे

a = 7

d = 4

n = 15

$S_{n} = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\\\\S_{15} = \frac{15}{2}[14+(14)4]\\\\S_{15} = \frac{15}{2}[70]\\\\ = 525$



2)

$a_{n}= 9-5n$

n = 1

$a_{1}= 9-5 = 4$

n = 2

$a_{2}= 9-5(2) = -1$

n = 3

$a_{3}= 9-5(3) = -6$

4, -1,-6,-11...

तो हमने देखा कि सभी पदों का अंतर समान है तो इस प्रकार एपी हुई

a = 4

d =-5

n = 15

$S_{n} = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\\\\S_{15} = \frac{15}{2}[8+(14)(-5)]\\\\S_{15} = \frac{15}{2}[-62]\\\\ =-465$