वक्र y = (x – 2)^{2} पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा बिन्दुओं (2,0) और (4,4) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है।
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Answer:
जब वक्र का समीकरण y = f(x) के रूप में दिया हो तो स्पर्शी की प्रवणता का मान {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} द्वारा निकाला जा सकता है। दी हुई प्रवणता तथा किसी दिये हुए बिन्दु (X, Y) से जाने वाली सरल रेखा का समीकरण निम्नलिखित है-
{\displaystyle y-Y={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (x-X)}{\displaystyle y-Y={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (x-X)}
जहाँ (x, y) उस स्पर्शरेखा के उपर स्थित कोई भी बिन्दु हैं और अवकलज (derivative) का मान {\displaystyle x=X}{\displaystyle x=X} के लिये निकाला गया हो।[1]
उदाहरण
माना कि वक्र : y = f(x) = x2 के बिन्दु (-1,1) पर स्पर्शरेखा का समीकरण प्राप्त करना है। यहाँ f' (-1) = -2 है। अतः स्पर्शरेखा का समीकरण निम्नलिखित होगा-
{\displaystyle y-1=-2(x+1)}{\displaystyle y-1=-2(x+1)}
या, y = -2x-1
Given : y = (x - 2)²
To find : बिन्दु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा , बिन्दुओं (2,0) और (4,4) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है
Solution:
y = (x - 2)²
dy/dx = 2(x - 2)
=> dy/dx = 2x - 4
बिन्दुओं (2,0) और (4,4) को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता = (4 - 0)/( 4 - 2)
= 4/2
= 2
बिन्दुओं (2,0) और (4,4) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर रेखा की प्रवणता = 2
2x - 4 = 2
=> 2x = 6
=> x = 3
x = 3
y = (3 - 2)²
=> y = 1
( 3 , 1) बिन्दु पर स्पर्श रेखा , बिन्दुओं (2,0) और (4,4) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है
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