Question

verify x+(y+z)=(x+y)+z where x=2/3,y=-5/7,z=-7/9
​

Answer 1

ᴀɴsᴡᴇʀ

we have,

$x = \frac{2}{3} ,y = - \frac{ 5}{7} \: \: \: \bold{and} \: \: z = - \frac{7}{9}$

to prove:

$x + (y + z) = (x + y) + z$

proof:

• LHS = x + (y + z)
• RHS = (x + y) + z

first consider LHS,

x + (y + z)

put the value of x , y and z in this expression;

$\implies LHS = \frac{2}{3} + \bigg \{ \frac{ - 5}{7} + \frac{ - 7}{9} \bigg \} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies LHS = \frac{2}{3} + \bigg \{ \frac{( - 5 \times 9) + ( - 7 \times 7)}{7 \times 9} \\ \\ \implies LHS = \frac{2}{3} + \bigg \{ \frac{ - 45 - 49}{63} \bigg \} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \: LHS = \frac{2}{3} + \frac{ - 94}{63} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \frac{(2 \times 21) - 94}{63} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \: LHS = \frac{42 - 94}{63} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \boxed{ \orange{ LHS = - \frac{52}{63} }} ........(i)\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

now, solve RHS

(x + y) + z

now, put the value of x , y and z in this expression;

$\implies RHS = \bigg \{ \frac{2}{3} + \frac{ - 5}{7} \bigg \} + \frac{ - 7}{9} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies RHS = \bigg \{ \frac{(2 \times 7) + ( - 5 \times 3)}{3 \times 7} \bigg \} - \frac{7}{9} \\ \\ \implies RHS = \bigg \{ \frac{14 - 15}{21} \bigg \} - \frac{7}{9} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies RHS = \frac{ - 1}{21} - \frac{7}{9} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies RHS = \frac{( - 1 \times 3) - (7 \times 7)}{63} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies RHS = \frac{ - 3 - 49}{63} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \boxed{ \orange{ RHS = - \frac{52}{63}}} .........(ii)\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

from eq.(i) and (ii) we get,

• LHS = -52/63
• RHS = -52/63

➪ LHS = RHS

so that, x + (y +z) = (x + y) + z

hence, verified!