यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है |
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Answer:
किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग , किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
Step-by-step explanation:
माना कि n एक धनात्मक पूर्णांक है, तथा b = 3 है।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से , किसी पूर्णांक q ≥ 0 के लिए a = 3q +r ,जहाँ r = 0,1,2 क्योंकि 0 ≤ r <3
तब यह a = 3q या 3q + 1 या 3q+2 के रूप का है।
यदि n = 3q, दोनों ओर वर्ग करने पर,
n² = (3q)²
n² = 9q²
n² = 3 (3q)²
n² = 3m , जहां m = 3q² …………(1)
यदि n = 3q + 1,दोनों ओर वर्ग करने पर,
n² = (3q + 1)²
n² = (3q)² + 6q + 1²
[(a+b)² = a² + b² + 2ab]
n² = 9q² + 6q + 1
n² = 3q (3q + 2) + 1
n² = 3m +1 , जहां m = q(3q + 2)...........(2)
समी (1) और (2) से
n² = 3m , n² = 3m +1
अतः, किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग , किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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