Question

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m + 1 के रूप का होता है। [संकेत: यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब यह 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।]

Answer 1

माना कि a एक धनात्मक पूर्णांक है, तथा b=3 है।

किसी पूर्णांक q ≥ 0 के लिए a=3q+r ,जहाँ r=0,1,2 क्योंकि 0≤r<3 [यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से ]

अत: a=3q या 3q+1 या 3q+2

इसीलिए, a²=(3q)² या (3q+1)² या (3q+2)²

⇒a²=9q² या 9q²+6q+1 या 9q²+12q+4

⇒a²=3×(3q²) या 3(3q²+2q)+1 या 3(3q²+4q+1)+1

⇒a²=3k या 3k'+1 या 3k" + 1

जहाँ k, k'  तथा k" धनात्मक पूर्णांक हैं।

अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m+1 के रूप का होता है।

Answer 2

Answer:

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m + 1 के रूप का होता है। [संकेत: यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब यह 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।]