Question

यदि $(3 + ax)^9$ के प्रसार में $x^2$ तथा $x^3$ के गुणांक समान हों, तो a का मान ज्ञात कीजिए।

Answer 1

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

ऐसा वीजीय व्यंजक जिसमें दो पद होते हैं .

द्विपद ( Binomial ) कहलाता है ।

उदाहरण : a + b, 2x - 3y तथा 2/x - 1/x²

ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें तीन पद होते हैं , त्रिपद ( Trinomial ) कहलाता है ।

व्यापक रूप से ऐसा व्यंजक जिसमें दो से अधिक पद होते बहुपदी व्यंजक ( Multinomial Expression ) कहलाता है । द्विपद का व्यापक रूप ( x + 1 ) हैं ।

प्रत्येक धन पूर्णाक n के लिए ( x + a )^n का प्रसार द्विपद प्रमेय कहलाता है ।

$\bf \: Solution -$

हल:-

$(3 + {ax)}^{9} = {3}^{9} + {}^{9} c_1. {3}^{8} .(ax) + {}^{9} c_2. {3}^{7} .(ax) {}^{2} + {}^{9} c_3. {3}^{6} .(ax) {}^{3} + ...... + (ax {)}^{9} \\ \\ \\ \implies \: {3}^{9} + 9 \times \: {3}^{8} \times a \times x + {36 \times 3}^{7} \times {a}^{2} \times {x}^{2} + 84 \times {3}^{6} \times {a}^{3} \times {x}^{3} + ........ + { {a}^{9}x }^{9}$

इसलिए x² का गुणांक = 36× 3^7×a²

तथा x³ का गुणांक = 84 × 3^6 × a³

दिया है कि x ² का गुणांक = x³ का गुणांक

•°• 36 × 3^7 × a² = 84 × 3^6 × a³

=> 36 × 3^7 = 84 × 3^6 × a

अतः a = (36×3^7)/(84×3^6)

= (3 × 3)/ 7

= 9/7