Question

यदि $(a + b)^n$ के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमश: $729$, $7290$ तथा $30375$ हों तो a, b, और n ज्ञात कीजिए।

Answer 1

Answer:

a = 3 ,

b = 5 ,  

तथा n = 6

Step-by-step explanation:

         

                    $(a+b)^{n} = a^{n} + nC_{1} a^{n-1} b + nC_{2} a^{n-2} b^{2} + .....$

हमें दिया है :     $a^{n}$ = 729                               ..... (1)

                     

                   

                      $nC_{1} a^{n-1} b = na^{n-1} b = 7290$             .... (2)

                      $nC_{2} a^{n-2} b^{2} = \frac{n(n-1)}{1 . 2} a^{n-2} b^{2} = 30375$                        .... (3)

समीकरण (2) को (1) से भाग देने पर,

                                             $\frac{na^{n-1}b}{a^{n}} = \frac{7290}{729}$ = 10

           या                             $n\frac{b}{a}$ = 10                       .... (4)

समीकरण (3) को (2) से भाग देने पर,

                                                 $\frac{\frac{n(n-1)}{2} a^{n-2}b^{2}}{na^{n-1}b}$ = $\frac{30375}{7290}$

या                              $\frac{n-1}{2} \frac{b}{a}$ = $\frac{6075}{1458}$

                                                                     = $\frac{675}{162}$ = $\frac{75}{18}$ = $\frac{25}{6}$                  ....... (5)

समीकरण (4) को (5) से भाग देने पर,

                    n×$\frac{2}{n-1}$  = $\frac{10*6}{25}$

                                   = $\frac{60}{25}$

                                   = $\frac{12}{5}$

          या            $\frac{n}{n-1}$ = $\frac{6}{5}$

                             6n - 6 = 5n

          या                6n - 5n = 6       या  n = 6

n का मान समीकरण (4) में रखने पर,

                       6 $\frac{b}{a}$ = 10

         या          $\frac{b}{a}$  =  $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$

                        b = $\frac{5}{3}$ a

समीकरण (1) से,

                      $a^{n}$ = 729

या                   $a^{6}$ = 729  अर्थात्  $a^{6}$ =  $3^{6}$

                           a = 3

अब  b = $\frac{5}{3}$ × 3  = 5

अतः   a = 3 , b = 5 ,  तथा n = 6