Question

यदि $\dfrac{a^n + b^n}{a^{n-1} + b^{n-1}}$ a तथा b के मध्य समांतर माध्य हो तो n का मान ज्ञात कीजिए।

Answer 1

Answer:

n = 1

Step-by-step explanation:

a और b ka मध्य समांतर माध्य  = a + b / 2

दी गई शर्त के अनुसार,

a^n + b^n/ a^n-1 + b^n-1 = a + b / 2

=> 2 (a^n + b^n) = (a+b) ( a^n-1 + b^n-1)

=>  2a^n + 2b^n = a^n + ab^n-1 + ba^n-1 + b^n

=>   a^n - ba^n-1 =  ab^n-1 - b^n

=>  a^n-1 ( a - b) = b^n-1 ( a - b )

=> a^n-1 = b^n-1

=> a^n-1/b^n-1 = 1

=> (a/b)^n-1 = (a/b)^0

=> n - 1 = 0

=> n = 1

इसप्रकार, n का मूल्य 1 है |  

Answer 2

$\bold{\huge{\underline{Answer-}}}$

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

1. समान्तर श्रेढी को संक्षेप में स० श्रे० ( A . P . ) लिखा जाता है ।

2. समान्तर श्रेढी के प्रथम पद को a , सार्वअन्तर को d तथा n वें पद को T , से प्रदर्शित किया जाता है ।

3. समान्तर श्रेढी के किसी भी पद में से उसका पूर्व पद घटाकर सार्वअन्तर ज्ञात किया जा सकता है

अर्थात समान्तर श्रेढी के किन्हीं दो क्रमागत पदों का अन्तर सदैव अचर होता है ।

प्रत्येक श्रेढी के कम - से - कम तीन पद अवश्य लिखने होते है

$\bold{\huge{\underline{Solution-}}}$

a और b का समांतर माध्य = (a+b) / 2

परंतु दिया है कि इनका समांतर माध्य

$\bf \: = \frac{ {a}^{n} + {b}^{n} }{ {a}^{n - 1} + {b}^{n - 1} }$

$\tt \therefore \: \frac{ {a}^{n} + {b}^{n} }{ {a}^{n - 1} + {b}^{n - 1} } = \frac{a + b}{2} \\ \\ \implies \tt \: {2a}^{n} + {2b}^{n} = {a}^{n} + {ab}^{n - 1} + {a}^{n - 1} b + {b}^{n} \\ \\ \implies \tt \: {a}^{n} - {ab}^{n - 1} - {a}^{n - 1} b + {b}^{n} = 0 \\ \\ \implies \tt \: a( {a}^{n - 1} - {b}^{n - 1} ) - b( {a}^{n - 1} - {b}^{n - 1} ) = 0 \\ \\ \implies \tt(a - b)( {a}^{n - 1} - {b}^{n - 1} ) = 0 \\ \\ \implies \tt \: {a}^{n - 1} - {b}^{n - 1} = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ( \because \: a \neq \: b) \\ \\ \implies \tt \: \frac{ {a}^{n - 1} }{ {b}^{n - 1} } = 1 \\ \\ \implies \tt \: ( \frac{a}{b} ) {}^{n - 1} = 1 \\ \\ \implies \tt \: \: ( \frac{a}{b} ) {}^{n - 1} = ( \frac{a}{b} ) {}^{0} \\ \\ \implies \tt \: n - 1 = 0 \\ \\ \implies \tt \: n = 1$