Question

m संख्याओं को $1$ तथा $31$ के रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है और $7^{th}$ वीं एवं $(m – 1)^{th}$ वीं संख्याओं का अनुपात $5 : 9$ है। तो m का मान ज्ञात कीजिए।

Answer 1

Answer:

m = 14

Step-by-step explanation:

मान लो के 1 तथा 31 के बीच m संख्याएँ A1, A2, ... Am  ऐसा है कि  1 , A1, A2, ... Am, 31 समांतर श्रेणी बनती है |

यहाँ, a = 1, b = 31, n = m + 2

इसलिये, 31 = 1 + ( m+2 - 1) d

=> 30 = (m+1)d  

=>  d = 30/ m + 1

A1 = a + d  

A2 = a + 2d

A3 = a + 3d ...

∴ A7 = a + 7d

A_m-1 = a + ( m - 1) d

दी गई शर्त के अनुसार,

a + 7d/ a + (m-1)d = 5/9

=> 1 + 7 ( 30/ m + 1) / 1 + ( m - 1) ( 30/ m + 1) = 5/9

=> 1 ( m+1) + 7 x 30/ 1 ( m+1) + ( m -1) x 30 = 5/9

=> m + 1 + 210/ m + 1 + 30m - 30 = 5/9

=> m + 211/ 31m -29 = 5/9

=> 9m + 1899 = 155m - 145

=> 155m - 9m = 1899 + 135

=> 146m = 2044

=> m = 14

इसलिए, m  का मान 14 है |

Answer 2

$\bold{\huge{\underline{Answer-}}}$

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

1. समान्तर श्रेढी को संक्षेप में स० श्रे० ( A . P . ) लिखा जाता है ।

2. समान्तर श्रेढी के प्रथम पद को a , सार्वअन्तर को d तथा n वें पद को T , से प्रदर्शित किया जाता है ।

3. समान्तर श्रेढी के किसी भी पद में से उसका पूर्व पद घटाकर सार्वअन्तर ज्ञात किया जा सकता है

अर्थात समान्तर श्रेढी के किन्हीं दो क्रमागत पदों का अन्तर सदैव अचर होता है ।

प्रत्येक श्रेढी के कम - से - कम तीन पद अवश्य लिखने होते है

$\bold{\huge{\underline{Solution-}}}$

माना 2 तथा 31 के बीच समांतर माध्य- पद क्रम सा निम्नलिखित है

$\tt \:A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7..........,A_{m-1},A_m$

तब,

$\tt \:1,A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7..........,A_{m-1},A_m ,31$

समांतर श्रेणी में होंगे

मान श्रेणी का सार्व अंतर = d

श्रेणी में पदों की संख्या = m +2

प्रथम पद a = 1 तथा (m+2) वाँ पद Tm+2 = 31

$\bf \therefore \: a + [(m + 2) - 1]d = 31 \\ \\ \bf \: 1 + (m + 1)d \: = 31 \\ \\ \bf \: (m + 1)d \: = 30 \\ \\ \bf \: d = \frac{30}{m + 1}$

•°• सातवा समांतर मध्य -पद = A7 श्रेणी का आठवां पद

$\bf = a + (8 - 1)d \\ \\ = \bf \: 1 + 7 \times \frac{30}{m + 1} \\ \\ = \bf \: \frac{(m +1) + 210 }{m + 1} \\ \\ \bf \: \frac{m + 211}{m + 1}$

तथा (m-1) समांतर मध्य- पद

$A_{m-1}$ = श्रेणी का m वाँ पद

$= a + (m - 1)d \\ \\ = 1 + (m - 1) \times \frac{30}{m + 1} \\ \\ = \frac{(m + 1) + (30m - 30)}{m + 1} \\ \\ = \frac{31m - 29}{m + 1}$

प्रश्नाअनुसार :-

$\bf \: \frac{A_7}{A_{ m - 1}} = \frac{5}{9}$ अर्थात $\bf \: \frac{ \frac{m + 211}{m + 1} }{ \frac{31m - 29}{m + 1} } = \frac{5}{9}$

$\bf \:\implies \frac{m + 211}{31m - 29} \frac{5}{9} \\ \\ \implies \bf \: 9(m + 211) = 5(31m - 29) \\ \\ \implies \bf \: 9m + 1899 = 155m - 145 \\ \\ \implies \bf \: 146m = 2044 \\ \\ \implies \bf \: m = \frac{2044}{146} = 14$

$\large{ \bf \: Note}$

m वा समांतर माध्य = श्रेणी का अंत से तीसरा पद

$\tt \: = l\: - (3 - 1)d \\ \\ \tt = 31 - 2 \times \frac{30}{m + 1} \\ \\ = \tt \: \frac{31m - 29}{m + 1}$