Question

एक बहुभुज के दो क्रमिक अंत:कोणों का अंतर $5^{\circ}$ है। यदि सबसे छोटा कोण $120^{\circ}$ हो, तो बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer 1

Answer:

n = 9 या 16  

Step-by-step explanation:

बहुभुज के कोण  सार्व अंतर d = 5° जितना और प्रथम पद a का मूल्य 120° हों  ऐसी समान्तर श्रेणी बनाएंगे।  

यह ज्ञात है कि एक बहुभुज के सभी कोणों का योग n पक्षों के साथ 180° ( n - 2) है। इसलिए,

S_n = 180 ( n-2)

S_n = n/2 [2a + (n-1) d]  = 180n - 360

      = n/2 [2 x 120 + (n-1) x 5]  = 180n - 360

      = n[240 + 5n-5]  = 360n - 720

      = 235n + 5n^2 = 360n - 720

      = 5n^2 - 125n + 720 = 0

      = n^2 - 25n + 144 = 0

      = n^2 - 16n - 9n + 144 = 0

      = n (n - 16) - 9 (n - 16) = 0

      = (n - 16) (n - 9) = 0

∴ n = 9 या 16  

इसप्रकार, बहुभुज की भुजाओं की संख्या 9 या 16 हैं |

Answer 2

$\bold{\huge{\underline{Answer-}}}$

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

1. समान्तर श्रेढी को संक्षेप में स० श्रे० ( A . P . ) लिखा जाता है ।

2. समान्तर श्रेढी के प्रथम पद को a , सार्वअन्तर को d तथा n वें पद को T , से प्रदर्शित किया जाता है ।

3. समान्तर श्रेढी के किसी भी पद में से उसका पूर्व पद घटाकर सार्वअन्तर ज्ञात किया जा सकता है

अर्थात समान्तर श्रेढी के किन्हीं दो क्रमागत पदों का अन्तर सदैव अचर होता है ।

प्रत्येक श्रेढी के कम - से - कम तीन पद अवश्य लिखने होते है

$\bold{\huge{\underline{Solution-}}}$

माना बहुभुज की भुजाओं की संख्या n है ।

तब बहुभुज में n अन्त : कोण होंगे और उनका योग ( 2n - 4 ) समकोण होगा ।

°•° सबसे छोटा कोण a = 120° .

•°• इसके बाद के कोण क्रमशः 125° , 130° , 135° . . . . आदि होंगे । ( °•° कोणों का क्रमिक अन्तर = 5° ) स्पष्ट है कि कोण 120° , 125° , 130° , 135° . . . . . एक समान्तर श्रेढी बनाते हैं , जिसका प्रथम पद a = 120° तथा सार्वअन्तर d = 5°

तब सभी n कोणों का योग

$\bf \: = \frac{n}{2} \{ 2a + (n - 1)d\} \\ \\ \implies \bf \: \frac{n}{2} \{2 \times 120 \degree \: + (n - 1)5 \degree \} \\ \\ \implies \bf \: \frac{n}{2} (240 + 5n - 5) \\ \\ \implies \bf \: \frac{n(5n + 235)}{2} \\ \\ \implies \bf \: \frac{5n(n + 47)}{2}$

परंतु बहुभुज के सभी n कोणों का योग

= (2n -4 )समकोण = 90(2n - 4)°

तब,

$\bf \: \frac{5n(n + 47)}{2} = 90(2n - 4) \\ \\ \bf \therefore \: n(n + 47) = \frac{2}{5} \times 90 \times 2(n - 2) \\ \\ \bf \therefore \: {n}^{2} + 47n = 72n - 144 \\ \\ \bf \: {n}^{2} + 47n - 72n + 144 = 0 \\ \\ \bf \: {n}^{2} - 25n + 144 = 0 \\ \\ \bf \: {n}^{2} - (16 + 9)n + 144 = 0 \\ \\ \bf {n}^{2} - 16n \: - 9n \: + 144 = 0 \\ \\ \bf \: n(n - 16) - 9(n - 16) = 0 \: \\ \\ \bf \: (n - 16)(n - 19) = 0 \\ \\ \bf \: n = 9,16$

अतः बहुभुज की भुजाओं की संख्या = 9 , 16