यदि 
क्रमशः प्रथम ॥ प्राकृत संख्याओं का योग, उनके वर्गों का योग तथा घनों का योग है तो सिद्ध कीजिए कि 
.
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Answer:
Step-by-step explanation:
प्रश्न के अनुसार ,
S_1 = 1 + 2 + 3 + ... + n = ∑_{n=1}^{n} = n (n + 1) / 2,
S_2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = ∑_{n=1}^{n} (n^2) = n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ) / 6
S_3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ∑_{n=1}^{n} (n^3) = [ n(n + 1)/ 2 ]^2
अब , RHS = S_3 ( 1 + 8S_1)
= [ n ( n + 1 )/ 2 ]^2 [ 1 + 8 {n (n + 1)/2]
= [n(n+1)/2]^2 [ 1 + 4 { n^2 + n }]
= [ n ( n + 1) / 2]^2 [4n^2 + 4n + 1]
= [ n ( n + 1) / 2]^2 [2n + 1]^2
= [n (n + 1) (2n + 1)/ 2]^2
= 9/9 [n (n + 1) (2n + 1)/ 2]^2
= 9 [ n (n + 1) (2n + 1)/ 6 ]^2
= 9 S_2^2
= LHS
9S₂² = S₃(1 + 8S₁) यदि S₁ , S₂ , S₃ क्रमशः प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग, उनके वर्गों का योग तथा घनों का योग है
Step-by-step explanation:
S₁ , S₂ , S₃ क्रमशः प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग, उनके वर्गों का योग तथा घनों का योग है
S₁ = ∑n = n(n+1)/2
S₂ = ∑n² = n(n+1)(2n+1)/6
S₃ = ∑n³ = (n(n+1)/2)²
9S₂² = S₃(1 + 8S₁)
RHS
= S₃(1 + 8S₁)
= (n(n+1)/2)² ( 1 + 8 n(n+1)/2)
= (n(n+1)/2)² ( 1 + 4 n(n+1))
= (n(n+1)/2)²( 4n² + 4n + 1)
= (n(n+1)/2)²( 4n² + 2n + 2n + 1)
= (n(n+1)/2)²( 2n + 1)²
= (n(n + 1)(2n + 1))²/4
= (6S₂)²/4
= 36S₂²/4
= 9S₂²
= LHS
QED
इति सिद्धम
9S₂² = S₃(1 + 8S₁)
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