एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं | दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है |
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Answer with Step-by-step explanation:
दिया है :
(AB)/(PQ) = (AC)/(PR) = (AD)/(PM)
अब त्रिभुज ABC में AD को E तक इस तरह बढ़ाया गया कि AD = DE तथा E को B तथा C से जोड़ा गया है। उसी तरह त्रिभुज PQR में, PM = ML खींचा गया तथा L को Q तथा R से जोड़ा गया है।
दिया है AD तथा PM माध्यिकाएँ हैं,
अत: BD = DC तथा QM = MR
तथा रचना के अनुसार, AD = DE तथा PM = ML
अब चतुर्भुज ABEC में, विकर्ण AE तथा BC एक दूसरे को D बिन्दु पर समद्विभाजित करते हैं,
अत: ABEC एक समांतर चतुर्भुज है।
अत: AC = BE तथा AB = EC
[चूँकि समांतर चतुर्भुज के आमने सामने की भुजा बराबर होती हैं]
उसी प्रकार PQLR भी एक समांतर चतुर्भुज है तथा
PR = QL तथा PQ = LR
प्रश्न अनुसार,
AB/PQ = AC/PR = AD/PM
या AB/PQ = BE/QL = 2AD /2PM
AB/PQ = BE/QL = AE /PL
Δ ABE ~ Δ PQL (SSS (भुजा-भुजा-भुजा) कसौटी के आधार पर)
∠ BAE = ∠ QPL [समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होती हैं] ……..(1)
∠ CAE = ∠ RPL [समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होती हैं] ……….2
समीकरण (1) तथा समीकरण (2) को जोड़ने पर
∠ BAE + ∠ CAE = ∠ QPL + ∠ RPL
∠ CAB = ∠ RPQ ………(3)
Δ ABC तथा Δ PQR में,
AB/PQ = AC/PR [दिया है]
∠ CAB = ∠ RPQ [प्रमाणित ऊपर]
Δ ABC ~ Δ PQR [SAS समरूपता कसौटी के आधार पर]
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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(i) CD/GH = AC/FG
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