एक वृत्त ओर एक वर्ग के परिमापों का योग kहै, जहाँ k एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
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Given : एक वृत्त ओर एक वर्ग के परिमापों का योग kहै , k एक अचर है
To find : सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
Solution:
सलंग्न आकृति देखो
वृत्त की त्रिज्या = x
वर्ग की भुजा = y
वृत्त परिमाप = 2πx
वर्ग की परिमाप = 4y
2πx + 4y = k
=> y = (k - 2πx)/4
वृत्त की क्षेत्रफल = πx²
वर्ग की क्षेत्रफल = y² = ( (k - 2πx)/4)²
वृत्त वर्ग के क्षेत्रफलों का योग A = πx² + ( (k - 2πx)/4)²
dA/dx = 2 πx + 2 (k - 2πx)(- 2π)/16
=> dA/dx = 2 πx - kπ/4 + π²x/2
=> dA/dx = x(2 π + π² /2) - kπ/4
dA/dx = 0
=> x(2 π + π² /2) - kπ/4 = 0
=> x(4 + π) = k/2
=> x = k/2(4 + π)
d²A/dx² = 2 π + π² /2 > 0
=> x = k/2(4 + π) पर A न्यूनतम
x = k/2(4 + π)
y = (k - 2πx)/4 = (k - 2πk/2(4 + π)) /4
=> y = (k - πk/ (4 + π)) /4
=> y = (4k + πk - πk ) /4(4 + π)
=> y = (4k ) /4(4 + π)
=> y = k / (4 + π)
x = k/2(4 + π)
y = k / (4 + π)
=> y = 2x
=> वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है
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