Question

किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

Answer 1

हम जानते हैं कि A.P का n वा पद हम निकाल सकते हैं उसके लिए सूत्र है

$T_{n} = a + (n - 1)d$
यहां a प्रथम पद है तथा d सार्व अंतर है

तो इस प्रकार तीसरा पद हुआ
$T_{3} = a + 2d$

व सातवां पद हुआ

$T_{7}= a + 6d$
प्रश्न के हिसाब से तीसरे व सातवा पद का योग 6 है

$T_{3} + T_{7} = 6 \\ \\ a + 2d + a + 6d = 6 \\ \\ 2a + 8d = 6 \\ \\ a + 4d = 3$
और इसी प्रकार तीसरे व सातवें पद का गुणनफल 8 है,

तो उसका समीकरण कुछ इस प्रकार बनेगा

$T_{3} \times T_{7} = 8 \\ \\ (a + 2d)(a + 6d) = 8$

a+4d =3 से a का मान निकालकर , गुणनफल वाले समीकरण में रखेंगे

a = 3-4d

$(3 - 4d + 2d)(3 - 4d + 6d) = 8 \\ \\ (3 - 2d)(3 + 2d) = 8 \\ \\ 9 - 4 {d}^{2} = 8 \\ \\ 4 {d}^{2} = 1 \\ \\ {d}^{2} = \frac{1}{4} \\ \\ d = ± \frac{1}{2}$

$a = 3 - 4 \times \frac{1}{2} \\ \\ a = 1 \\ \\ a = 3 + 4 \times \frac{1}{2} \\ \\ a = 5$
तो इस प्रकार दो A.P. बनेंगी

1) a = 5 ,d = -1/2

2) a= 1, d = 1/2

प्रथम के 16 पदों का योग निकालने के लिए हम 16 पदों के योग का सूत्र इस्तेमाल करेंगे

$S_{16} = \frac{16}{2} (2 \times 5 + (16 - 1)( - \frac{1}{2} ) \\ \\ = 8(10 - \frac{15}{2} ) \\ \\ = 8( \frac{20 - 15}{2} ) \\ \\ = 8 \times \frac{5}{2} \\ \\ = 20$

इसी प्रकार दूसरी A.P.के लिए

$S_{16} = \frac{16}{2} (2 \times 1 + (16 - 1) \frac{1}{2} ) \\ \\ = 8(2 + \frac{15}{2} ) \\ \\ = 8 \times ( \frac{19}{2} ) \\ \\ = 4 \times 19 \\ \\ = 76$

तो इस प्रकार हम दोनों A.P.के 16 पदों का योग ज्ञात कर लेंगे

Answer 2

Answer:

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