किसी गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पदों का योगफल 
है तथा अगले तीन पदों का योग 
है तो गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद, सार्व अनुपात तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
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Answer:
Step-by-step explanation:
मान लो के गुणोत्तर श्रेणी a, ar, ar^2, ar^3, ...
गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पदों का योगफल 16 है, इसलिए, a + ar + ar^2 = 16
=> a ( 1 + r + r^2 ) = 16 ... (1)
अगले तीन पदों का योगफल 128 है, इसलिए ar^3 + ar^5 = 128
=> ar^3( 1 + r + r^2) = 128 ... (2)
समीकरण 2 को 1 से विभाजित करके, हम पाते हैं
=> ar^3 [ 1 + r + r^2 ] / a [ 1 + r + r^2] = 128/16
=> r^3 = 8
=> r = 2
समीकरण (1) में r का मान डालकर हम पाते हैं :
=> a ( 1 + 2 + 2^2) = 16
=> 7a = 16
=> a = 16/7
अब, S_n = a(r^n - 1 ) / r - 1
=> S_n = 16/7 [ 2^n - 1 ] / 2 - 1
= 16/7 ( 2^n - 1 )
इसप्रकार, गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 16/7,, सार्व अनुपात का मान 2 तथा n पदों का योगफल 16/7 ( 2^n - 1 ) है |
प्रथम पद = 16/7 , सार्व अनुपात = 2 , n पदों का योगफल = (16/7) ( 2ⁿ - 1)
Step-by-step explanation:
प्रथम पद a
सार्व अनुपात = r
गुणोत्तर श्रेणी a , ar , ar² , ar³ , ar⁴ , ar⁵
प्रथम तीन पदों का योगफल = 16
=> a + ar + ar² = 16
=> a(1 + r + r²) = 16
अगले तीन पदों का योग = 128
=> ar³ + ar⁴+ ar⁵ = 128
=> ar³(1 + r + r²) = 128
=> r³ *a(1 + r + r²) = 128
=> r³ * 16 = 128
=> r³ = 8
=> r = 2
सार्व अनुपात = 2
a(1 + r + r²) = 16
=> a(1 + 2 + 2²) = 16
=> a * 7 = 16
=> a = 16/7
प्रथम पद = 16/7
n पदों का योगफल
Sₙ = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
=> Sₙ = (16/7) ( 2ⁿ - 1)/(2 - 1)
=> Sₙ = (16/7) ( 2ⁿ - 1)
n पदों का योगफल = (16/7) ( 2ⁿ - 1)
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