Question

किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय X के लिए मान लीजिए कि * :P(X) x P(X) → P(X), जहाँA*B = (A -B) ∪ (B - A), ∀ A, B ∈ P(X) द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि रिक्तसमुच्चय ϕ, संक्रिया * का तत्समक हे तथा P(X) के समस्त अवयव A व्युत्क्रमणीय है; इसप्रकार कि A-1 = A (संकेत :(A - ϕ) ∪ (ϕ - A) = A. तथा (A-A) ∪ (A-A) = A*A = ϕ).

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

माना एक तत्समक अवयव है तो

   A * E = E * A = A ∀ A ∈ P (X)

⇒ (A-E) ∪ (E-A)  = A ∀ A ∈ P(X)

माना   A=∅ हमें प्राप्त होता है।

   (∅-E) ∪ (E-∅)  = ∅

⇒ ∅∪E = ∅ ⇒  E= ∅

यहाँ   A * ∅  = ∅ * A = (A-∅)∪(∅-A)

    = A∀a ∈ P(X)

अतः  ∅ तत्समक अवयव है।  

माना  A ∈ P(X) व्युत्क्रमणीय है तब   B∈P

(X) such that A*B = B*A = ∅

⇒ (A-B) ∪ (B-A)  = ∅

⇒ A-B = ∅ और  B-A=∅

⇒ A ⊂ B और  B ⊂ C

⇒ A = B

तब  ∀ ∈ P(X) , A*A = ∅

⇒ A  व्युत्क्रमणीय है और  $A^{-1}=A$

Answer 2

Step-by-step explanation:

Solution :

A * B = A ∩ B

A * X  = A ∩ X  = A

X * A = X ∩ A  = A

A * X = X * A

a * e = e * a = a

a * X = a ∩ X  = a

X * a = X  ∩ a = a

A * X = X * A  = A    A ∈ P(X)

a * b = e = b * a

e = X

=> A ∩ B = X

=> A  = B

=> A = B = X

=> The elemental component of this operation is X