Question

केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm,....वाले उतरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसाकि आकृति 5.4 में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है? ($\pi=\frac{22}{7}$ लीजिए।) संकेत : क्रमशः केंद्रों A,B,A,B,....वाले अर्धवृत्तों की लंबाइयाँ $l_{1},l_{2},l_{3},l_{4}$ हैं।

Answer 1

पहले अर्धवृत्त का परिमाप


$l_{1} = \pi \times r_{1} \\ \\ = \frac{22}{7} \times 0.5 \: cm$

दूसरे अर्धवृत्त का परिमाप

$l_{2} \: = \pi \times r_{2} \\ \\ = \frac{22}{7} \times 1 \: cm$
तीसरे अर्धवृत्त का परिमाप

$l_{3} = \pi \times r_{3} \\ \\ = \frac{22}{7} \times 1.5 \: cm$

इसी प्रकार क्रमगत सभी अर्धवृत्त के परिमाप को देखकर हम यह बता सकते हैं कि यह एक समानांतर श्रेणी का निर्माण करेंगे

$\frac{22}{7} \times 0.5, \: \frac{22}{7} \times 1, \: \frac{22}{7} \times 1.5,\: ... \\ \\ \frac{22}{7} (0.5 ,\: 1 ,\: 1.5,...)$

कुल लंबाई ज्ञात करने के लिए हम एपी के 13 पदों का योग निकाल लेंगे

a = 0.5

d = 0.5

n = 13

$S_{n} = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)d) \\ \\S_{13} = \frac{13}{2} (2 \times 0.5 + (13 - 1)0.5) \\ \\ = \frac{13}{2} (1 + 6) \\ \\ = \frac{91}{2} \\ \\ = 45.5$

सभी अर्धवृत्त ओं की कुल लंबाई होगी

$\frac{22}{7} \times 45.5 \\ \\ = 143 \: cm$