मान लीजिए A तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि ???? : A × B → B × A, इस प्रकार हैं कि ????(a, b) = (b, a) एक एकैकी आच्छादक फलन है I
Answers
Given : A तथा B दो समुच्चय हैं। f: A × B → B × A, इस प्रकार हैं कि f(a, b) = (b, a)
To find : सिद्ध कीजिए कि दिए हुए फलन एकैकी आच्छादी (bijective) फलन है।
Solution :
एकैकी (one-one) अथवा एकैक (injective) फलन यदि प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
अनयथा फलन एक बहुएक (many - one) कहलाता है
आच्छादक (onto ) अथवा आच्छादी (surjective) फलन यदि प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
एकैकी तथा आच्छादक (one-one and onto ) => एकैकी आच्छादी ( bijective) -(injective and surjective)
f(x) = (b , a )
x = a , b
f(x₁) = ( b₁ , a₁ )
f(x₂) = ( b₂ , a₂)
f(x₁) = f(x₂)
=> ( b₁ , a₁ ) = ( b₂ , a₂)
=> b₁ = b₂ & a₁ = a₂
=> (a₁ , b₁) = ( a₂ , b₂)
=> x₁ = x₂
प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
=> फलन एकैकी , एकैक (Injective) है
f(a , b) = (b , a)
f(x) = (b , a)
y = (b , a)
=> f(y) = f( b , a)
f( b , a) = a , b
=>f(y ) = x
=> प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
=> फलन आच्छादक (surjective ) है
फलन एकैकी तथा आच्छादक (one-one and onto ) => एकैकी आच्छादी ( bijective) है
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फलन R⟶R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है,
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f(x) = (1/x) द्वारा परिभाषित फलन R. → R. एकैकी तथा आच्छादक है,
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