मान लीजिए कि f: X → Y एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि f का प्रतिलोम
फलन अद्वितीय (unique) है। (संकेत: कल्पना कीजिए कि f के दो प्रतिलोम फलन g₁
तथा g₂ हैं। तब सभी y∈Y के लिए fog₁(y)= 1Y(y)=fog₂(y)है। अब के एकेकी गुण
का प्रयोग कीजिए)
Answers
Given : f: X → Y एक व्युत्क्रमणीय फलन है
To find : सिद्ध कीजिए कि f का प्रतिलोम फलन अद्वितीय (unique) है
Solution :
फलन व्युत्क्ररणीय है है ( फलन के प्रतिलोम हैं ) यदि फलन एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective)
f: X → Y एक व्युत्क्रमणीय फलन है।
प्रतिलोम फलन g y ∈ Y
=> fog(y) = Iy
मान लीजिए कि दो प्रतिलोम फलन g₁ तथा g₂ हैं।
=> y ∈ Y
fog₁(y) = Iy
fog₂(y) = Iy
=> fog₁(y) = fog₂(y)
=> f(g₁(y)) = f(g₂(y))
फलन व्युत्क्ररणीय है है => फलन एकैक (Injective)
प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
=> g₁(y) = g₂(y)
=> g₁ = g₂
=> f का प्रतिलोम फलन अद्वितीय (unique) है।
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