Question

नीचे दिए गए समय के फलनों में कौन (a) सरल आवर्त गति (b) आवर्ती परंतु सरल आवर्त गति नहीं, तथा (c) अनावर्ती गति का निरूपण करते हैं। प्रत्येक आवर्ती गति का आवर्तकाल ज्ञात कीजिए : (tex]omega[/tex] कोई धनात्मक अचर है ।)
(a) $sin \omega t-cos \omega t$ (b) $sin^{3} \omega t$ (c) 3 cos $(\frac{\pi}{4} -2\omega t)$ (d) $cos \omega t+cos 3\omega t+cos 5\omega t$ (e) exp ($-\omega^{2} t^{2}$) (f) $1+ \omega t+\omega^{2} t^{2}$

Answer 1

फलनों में आवर्त एवं सरल आवर्त गति की पहचान।

Explanation:

(a) sinwt - coswt . = √2 { 1/√2 sinwt - 1/√2coswt}

= √2{cos45°.sinwt - sin45°.coswt} = √2sin(wt - 45°)

अगर y  अक्ष के परिदृश्य  देखें तो -

y = Asin(wt ± ∅)

इस तरह यह एक मध्य के दोनों ओर चक्कर काट रही है और आवर्त काल  2π/w है।

(b) sin³wt

सूत्र

sin3x = 3sinx - 4sin³x

sin³wt = 1/4 [ 3sinwt - sin3wt ]

जैसा आप देख रहे है ये गति दो सरल आवर्त गति का मिश्रण है , इसलिए ये एक पीरिऑडिक ( आवर्त ) गति है।

आवर्त  = LCM of period { sinwt , sin3wt }

sinwt = 2π/w

sin3wt = 2π/3w

आवर्त  = 2π/w  होगा

(c)

3cos(π/4 - 2wt)  = 3cos {-(2wt-π/4)}  = 3cos(2wt - π/4) [ cos(-∅) = cos∅]

जैसा हम देख सकते हैं , यह एक आवर्त  गति है।

आवर्त  = 2π/2w = π/w

(d) coswt + cos3wt + cos5wt  यह सरल आवर्त गति नहीं है , परन्तु आवर्त गति है।

आवर्त = LCM  { coswt, cos3wt,cos5wt}

= LCM { 2π/w, 2π/w ,2π/5w}  = 2π/w

(e) x = exp( -w²t²)

x = e^(-w²t²)

यह न तो सरल आवर्त गति है , और न ही आवर्त गति।

(f) x = 1 + wt + w²t²

इसमें  भी कोई दोहराने वाली गति नहीं है इसलिए यह ना तो आवर्त गति है न ही सरल आवर्त गति।

सरल आवर्त गति करते किसी कण का विस्थापन y = A₀ + A sinωt + B cosωt द्वारा निरूपित किया गया है। तब इसके दोलन का आयाम होगा  ?

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