Question

प्रश्न 1 से 7 तक प्रत्येक श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए। $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 5 +...$

Answer 1

Answer:

n ( n + 1 ) ( n + 2 ) / 3

Step-by-step explanation:

यहाँ,  दी गयी शृंखला : 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 ...

n वां पद = a_n = n ( n + 1), इसलिये

S_n = ∑_{n=1}^{n} (an) =  ∑_{n=1}^{n} [n (n + 1)] =  ∑_{n=1}^{n} (n)^2 +  ∑_{n=1}^{n} (n)  

      = [ n (n + 1 ) ( 2n + 1) / 6] + [ n (n+1)/2]

      =  n (n+1)/2 [( 2n +1/3) + 1]

      =  n (n+1)/2 [  2n +4/3 ]

      =  n ( n + 1 ) ( n + 2 ) / 3

इसलिए, n पदों का योग n ( n + 1 ) ( n + 2 ) / 3 है  

Answer 2

Answer:

Step-by-step explanation:

माना कि दी गई श्रेढ़ियाँ का  n  वाँ  पद  $T_n$   है। अतः  

$T_n=[1,2,3,.....n].[2,3,4.....n]\\\\=[1+(n-1)1].[2+(n-1).1]\\\\=n(n+1)\\\\T_n=n^2+n$

 $S_n=\sum n^2+\sum n \\\\=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} +\frac{n(n+1)}{2} \\\\=\frac{n(n+1)}{2} [\frac{2n+1}{3} +1]\\\\=\frac{n(n+1)}{2} [\frac{2n+1+3}{3} ]\\\\=\frac{n(n+1)(2n+4)}{6} \\\\=\frac{2n(n+1)(n+2)}{6}\\ \\=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$