Question

प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए : (i) $x^3 - 27$, (ii) $(x - 1)(x - 2)$, $\dfrc{1}{x^2}$, (iv) $\dfrac{x + 1}{x - 1}$

Answer 1

प्रथम सिद्धांत से फलनों के अवकलन ज्ञात कीए

Step-by-step explanation:

प्रथम सिद्धांत

f'(x) =  Lim  h → 0  (f(x + h) - f(x) )/h

f(x) = x³ - 27

f'(x) = Lim  h → 0  (f(x + h) - f(x) )/h

= Lim  h → 0  ((x+h)³ - 27 - (x³ - 27)) )/h

= Lim  h → 0  (x³ + h³ + 3x²h + 3xh² - 27 - x³ + 27)/h

= Lim  h → 0 (h³ + 3x²h + 3xh²)/h

= Lim  h → 0 h² + 3x² + 3xh

= 0² + 3x²  + 3x(0)

= 3x²

f(x) = (x - 1)(x - 2)

f'(x) = Lim  h → 0  (f(x + h) - f(x) )/h

= Lim  h → 0  ((x+h - 1)(x + h - 2 )  - (x - 1)(x - 2))/h

=  Lim  h → 0  ((x+h)² - 3(x + h) + 2 -  (x - 1)(x - 2))/h

=  Lim  h → 0  (x² + h² + 2xh - 3x - 3h + 2  - x² +  3x  - 2)/h

=  Lim  h → 0  (h² + 2xh - 3h)/h

=  Lim  h → 0  h + 2x - 3

= 0 + 2x - 3

= 2x - 3

f(x) = 1/x²

f'(x) = Lim  h → 0  (f(x + h) - f(x) )/h

= Lim  h → 0    (1/(x + h)² - 1/x²)/h

= Lim  h → 0   (x² - (x + h)²)/x²(x + h)²h

= Lim  h → 0   (-h² - 2xh)/x²(x + h)²h

= Lim  h → 0   (-h - 2x)/x²(x + h)²

=(-0 -2x)/x²(x + 0)²

= -2x/x⁴

= -2/x³

f(x) = (x+1)/(x - 1)

f'(x) = - 2/(x - 1)²

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