सिद्ध कीजिए कि एक R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई
\frac{2R}{ \sqrt{3}} है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए I
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Given : R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत बेलन
To find : सिद्ध कीजिए कि अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई = 2R/√3 , अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए I
Solution:
गोले की त्रिज्या = R
बेलन की ऊँचाई = h
बेलन का व्यास = x
h² + x ² = (2R)²
=> h² + x² = 4R²
=> x² = 4R² - h²
बेलन का आयतन V = π(x/2)²h
V = πx²h/4
V = π (4R² - h²)h/4
=> V = π ( R²h - h³/4)
dV/dh = π ( R² - 3h²/4)
dV/dh = 0
=> π ( R² - 3h²/4) = 0
=> h² = 4R² /3
=> h = 2R/√3
d²V/dh² = π ( -6h/4) < 0
=> V अधिकतम
=> h = 2R/√3
x² = 4R² - h² = 4R² - 4R²/3 = 8R²/3
V = πx²h/4 = π(8R²/3)(2R/√3)/4
=> V = 4πR³/3√3
अधिकतम आयतन = 4πR³/3√3
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