Question

सिद्ध कीजिए कि f: [-1, 1] → R, f(x) = x / (x+2) द्वारा प्रदत्त फलन एकेकी है। फलनf : [-1, 1] → (f का परिसर), का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।(संकेत y∈ परिसर f, के लिए, [-1, 1] के किसी x के अंतर्गत y = f(x)= x / x+ 2 , अर्थात्‌x = 2y / (1-y) )

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

यहाँ    $f(x)=\dfrac{x}{x+2} ,x\neq -2$

∴ $D_f=R-(-2)$

To find  $R_f$ माना   y = f(x)

$y=\dfrac{x}{x+2} \\\\xy+2y=x\\\\x(y-1)=-2y\\\\x=\dfrac{2y}{y-1} =\dfrac{2y}{1-y} ......(i)$

x वास्तविक है इसीलिए    1 - y ≠ 0, i.e. y ≠ 1

∴ $R_f=R-(1)$

माना  $x_1,x_2$∈ $D_f$ इस  प्रकार है कि  $f(x_1)=f(x_2)$

⇒ $\dfrac{x_1}{x_1+2} =\dfrac{x_2}{x_2+2}\\\\x_1(x_2+2)=x_2(x_1+2)\\\\2x_1=2x_2=>x_1=x_2$

∴ f एकैकी है।  

अतः $f^{-1}:R_f\rightarrow D_f$ विद्यमान है।  

$f^{-1}$ माना  y = f(x)

$y=\dfrac{x}{x+2}\\ \\x=\dfrac{2y}{1-y}\\ \\f^{-1}(y)=\dfrac{2y}{1-y} ( y=f(x)+>x=f^{-1}(y))\\\\f^{-1}(x)=\dfrac{2x}{1-x}$

∀ x ∈ $D_{f^{-1}}=R_f=R-(1)$