सिद्ध कीजिए की किसी वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है |
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Answer with Step-by-step explanation:
दिया है :
एक समांतर चतुर्भुज ABCD है जो कि एक O केन्द्र वाले के वृत्त के परिगत है।
सिद्ध करना है :
ABCD एक समचतुर्भुज है।
उपपति्त :
हमें पता हैं कि, यदि किसी चतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान हों तो वे एक समचतुर्भुज कहलाता है।अर्थात, AB = BC = DC = AD
अब चूँकि, ABCD एक चतुर्भुज है।
∴ AB = DC ………….. (1) और BC = AD ………... (2)
क्योंकि वाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयां समान होती हैं।
अब, DR और DS वृत की स्पर्श रेखाएँ हैं, जो एक ही बिन्दु D से खींची गई हैं।
∴ DR = DS ……………(3)
इसी प्रकार, CR और CQ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं जो एक ही बिन्दु C से खींची गई हैं।
∴ CR = CQ …………(4)
और , BP और BQ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं जो एक ही बिन्दु B से खींची गई है।
∴ BP = BQ …………. (5)
साथ ही, AP और AS वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं जो एक ही बिन्दु A से खींची गई हैं।
∴ AP = AS ……….(6) समीकरण (3), (4), (5) और (6), को जोड़ने पर
DR + CR + BP + AP = DS + CQ + BQ + AS
DR + CR) + (BP + AP) = (DS + AS) + (CQ + BQ)
CD + AB = AD + BC
AB + AB = BC + BC
[समी (1) और (2) से ]
2 AB = 2 BC
AB = BC ……………. (7)
अब समीकरण (1), (2) और (7) से,
AB = BC = CD = DA
∴ ABCD एक समचतुर्भुज है।
अतः किसी वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है |
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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