सिद्ध कीजिए कि ????: R￫R,
{ 1,यदि x>0 ????(x) ={ 0,यदि x=0 { -1,यदि x < 0 द्वारा प्रदत्त चिहन फलन न तो एकेकी है और न आच्छादक है।
Answers
Given : f(x) = 1 यदि x>0 , 0 यदि x= 0 - 1,यदि x < 0 द्वारा परिभाषित फलन R ⟶ R
To find : सिद्ध कीजिए कि फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है
Solution :
एकैकी (one-one) अथवा एकैक (injective) फलन यदि प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
अनयथा फलन एक बहुएक (many - one) कहलाता है
आच्छादक (onto ) अथवा आच्छादी (surjective) फलन यदि प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
एकैकी तथा आच्छादक (one-one and onto ) => एकैकी आच्छादी ( bijective) -(injective and surjective)
R ⟶ R
f(x) = 1 यदि x>0 ,
0 यदि x= 0
- 1,यदि x < 0
f(1) = 1
f(2) = 1
1 = 1
=> f(1) = f(2)
परन्तु 1 ≠ 2
प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य नहीं है की x₁ = x₂
=> फलन एकैकी , एकैक (Injective) नहीं है
y = f(x)
=> y = 1 , 0 , - 1
केवल y ∈ {1 , 0 , - 1} के लिए ही X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
=> प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व नहीं है की f(x) = y
=> फलन आच्छादक (surjective ) नहीं है
=> f(x) द्वारा परिभाषित फलन R → R न तो एकैकी है और न आच्छादक है,
इतिसिद्धम
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