सिद्ध कीजिए कि ????(x) = [x] द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णाक फलन ???? : R⟶R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ [x], x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।
Answers
Given : f(x) = [x] द्वारा परिभाषित फलन R ⟶ R [x], x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।
To find : सिद्ध कीजिए कि फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है
Solution :
एकैकी (one-one) अथवा एकैक (injective) फलन यदि प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
अनयथा फलन एक बहुएक (many - one) कहलाता है
आच्छादक (onto ) अथवा आच्छादी (surjective) फलन यदि प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
एकैकी तथा आच्छादक (one-one and onto ) => एकैकी आच्छादी ( bijective) -(injective and surjective)
R ⟶ R
f(x) = [ x ]
f(1) = 1
f(1.5) = 1
1 = 1
=> f(1) = f(1.5)
परन्तु 1 ≠ 1.5
प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य नहीं है की x₁ = x₂
=> फलन एकैकी , एकैक (Injective) नहीं है
y = f(x) y ∈ R
=> y = [ x ]
=> y ∈ पूर्णांक
केवल y ∈ पूर्णांक लिए X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है
=> प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व नहीं है की f(x) = y
=> फलन आच्छादक (surjective ) नहीं है
=> f(x) = [x] द्वारा परिभाषित फलन R → R न तो एकैकी है और न आच्छादक है,
इतिसिद्धम
और सीखें :
निम्नलिखित फलनों की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच
https://brainly.in/question/16549721
सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = { (a, b) : a ≤ b²}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।
brainly.in/question/16549217
सिद्ध कीजिए कि R में R = { (a, b) : a ≤ b}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
f(x) = (1/x) द्वारा परिभाषित फलन R. → R. एकैकी तथा आच्छादक है,
https://brainly.in/question/16549723