सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = { x ∈ z : 0 ≤ x ≤ 12 }, में दिए गए निम्नलिखित सम्बन्धों R में से प्रत्येक एक तुल्यता सम्बन्ध है :
(i) R = { (a, b) : |a – b|, 4 का एक गुणज है},
(ii) R = { (a, b) : a = b}, प्रत्येक दशा में 1 से सम्बन्धित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
Answers
Given : समुच्चय A = { x ∈ z : 0 ≤ x ≤ 12 }, R = { (a, b) : |a – b|, 4 का एक गुणज है},
To find : सिद्ध कीजिए कि संबंध R एक तुल्यता सम्बन्ध है
Solution:
समुच्चय A पर परिभाषित संबंध R ;
(i) स्वतुल्य (reflexive) - कहलाता है यदि प्रत्येक a ∈ A के लिए (a , a) ∈ R
(ii) सममित (symmetric) कहलाता है यदि समस्त a₁ , a₂ ∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R से (a₂ , a₁ ) ∈ R प्राप्त हो
(iii) संक्रामक (transitive) कहलाता है यदि समस्त a₁ , a₂ . a ₃∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R तथा (a₂ , a₃ ) ∈ R से (a₁ , a₃ ) ∈ R प्राप्त हो
यदि संबंध R स्वतुल्य , सममित तथा संक्रामक हो => सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध
A = { x ∈ z : 0 ≤ x ≤ 12 },
=> A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 }
R = { (a, b) : |a – b|, 4 का एक गुणज
4 का एक गुणज = 0 , 4 , 8 , 12
स्वतुल्य (reflexive) :
यदि (a , a) ∈ R
| a - a | = 0 4 का एक गुणज
=> प्रत्येक a ∈ A के लिए (a , a) ∈ R
=> संबंध स्वतुल्य है
सममित (symmetric)
(a₁ , a₂) ∈ R से (a₂ , a₁ ) ∈ R प्राप्त हो
(a, b) ∈ R => | a - b | = 4 का एक गुणज
=> | b - a | 4 का एक गुणज => (b, a) ∈ R
=> समस्त a , b ∈ A के लिए (a, a) ∈ R से (b , a ) ∈ R प्राप्त
=> संबंध सममित है
संक्रामक (transitive)
a₁ , a₂ . a ₃∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R तथा (a₂ , a₃ ) ∈ R से (a₁ , a₃ ) ∈ R प्राप्त हो
(a, b) ∈ R => | a - b | = 4 का एक गुणज
(b , c) ∈ R => |b - c | = 4 का एक गुणज
=> | a - b | + |b - c | = 4 का एक गुणज
=> | a - c | 4 का एक गुणज
=> (a , c) ∈ R
समस्त a , b . c ∈ A के लिए (a , b) ∈ R तथा (b , c) ∈ R से (a , c ) ∈ R प्राप्त
=> संबंध संक्रामक है
=> संबंध R = { (a, b) : |a – b|, 4 का एक गुणज है}, स्वतुल्य , सममित तथा संक्रामक है => सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है
QED
इति सिद्धम
और सीखें :
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