सिद्ध कीजिए कि वक्र x=a cosθ +aθ sinθ, y = a sinθ -aθ cosθ के किसी बिंदु θ पर अभिलंब मूल बिंदु से अचर दूरी पर हेै।
Answers
Question:
x = acosθ + asinθ
y = asinθ - acosθ
eliminate ‘θ’ from the following
Answer:
given,
that
x = acosθ + asinθ
x = a(cosθ + sinθ) ______________ ( 1 )
y = asinθ - acosθ
y = a(sinθ - cosθ) ______________ ( 2 )
taking equation ( 1 )
S.O.B.S
x² = a²(cosθ + sinθ)²
x² = a²(sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ)
we know that sin²θ + cos²θ = 1
x² = a²(1 + 2sinθcosθ)
assuming as equation ( 3 )
taking equation ( 2 )
S.O.B.S
y² = a²(sin²θ + cos²θ - 2sinθcosθ)
y² = a²(1 - 2sinθcosθ)
assuming as equation ( 4 )
subtracting equation ( 4 ) - ( 3 )
x² - y² = a²(1 + 2sinθcosθ) - a²(1 - 2sinθcosθ)
x² - y² = a² + 2sinθcosθ - a²-2sinθcosθ
x² - y² =0
concepts used:
» trigonometric identities
» elimination of ‘θ’
Given : वक्र x=a cosθ +aθ sinθ, y = a sinθ -aθ cosθ
To find : सिद्ध कीजिए कि वक्र के किसी बिंदु θ पर अभिलंब मूल बिंदु से अचर दूरी पर हेै
Solution:
x=a cosθ +aθ sinθ
dx/dθ = -aSinθ + aθcosθ + a sinθ
=> dx/dθ = aθcosθ
y = a sinθ -aθ cosθ
dy/dθ = aCosθ - aθ(-Sinθ) - a cosθ
=> dy/dθ = aθSinθ
dy/dx = (dy/dθ)/(dx/dθ)
= aθSinθ/aθcosθ
= Tanθ
स्पर्श रेखा की प्रवणता = Tanθ
अभिलंब की प्रवणता * स्पर्श रेखा की प्रवणता = -1
=> अभिलंब की प्रवणता = -Cotθ
y = -Cotθx + c
x=a cosθ +aθ sinθ .
y = a sinθ -aθ cosθ
a sinθ -aθ cosθ = -Cotθ (a cosθ +aθ sinθ) + c
=> c = . a sinθ + a cos²θ/Sinθ
=> c = (a sin²θ + a cos²θ)/Sinθ
=> c = a/Sinθ
y = -Cotθx + a/Sinθ
=> ySinθ = -xCosθ + a
=> xCosθ + ySinθ = a
मूल बिंदु (0 , 0) से दूरी
=| 0 * Cosθ + 0*Sinθ - a | / √(Cos² θ + Sin²θ)
= | - a| / 1
= a
a अचर
=> बिंदु θ पर अभिलंब मूल बिंदु से अचर दूरी पर हेै
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