शीषों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
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Answer:
त्रिभुज ABC की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज ∆DEF का क्षेत्रफल 1 वर्ग मात्रक हैं।
∆ DEF तथा ∆ABC के क्षेत्रफल का अनुपात = 1:4
Step-by-step explanation:
दिया है : त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक = (0, –1), (2, 1) तथा (0, 3)
मान लीजिए कि, ABC एक त्रिभुज है जिसके शीर्षों के निर्देशांक A(0, –1), B(2, 1) तथा C(0, 3) हैं। मान लिया D, E तथा F दिये गये त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2[x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]
यहाँ, x1 = 0, y1 = –1
तथा, x2 = 2, y2 = 1
तथा, x3 = 0, y3 = 3
त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल = 1/2 [{0(1 – 3)} + {2(3 – (–1))} + {0(–1 – 1)}]
= 1/2 [0 + {2(3+1)} + 0]
= 1/2 [2 × 4]
= ½ ×8
= 4
अत:, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 4 वर्ग मात्रक
मध्य बिंदु सूत्र का प्रयोग करने पर , [(x1 +x2)/2 , (y1+y2)/2]
AB के मध्य–बिन्दु D के निर्देशांक :
D = [(0 + 2)/2, (-1 + 1)/2]
D = (1, 0)
BC के मध्य–बिन्दु E के निर्देशांक की गणना
E = [(2 + 0)/2, (1 + 3)/2]
E = (1, 2)
AC के मध्य–बिन्दु F के निर्देशांक की गणना
F = [(0 + 0)/2, (3 - 1)/2]
F = (0, 1)
∆DEF के निर्देशांक है D(1,0) , E(1, 2) तथा F(0, 1)
यहाँ, x1 = 1, y1 = 0
x2 = 1, y2 = 2
x3 = 0, y3 = 1
त्रिभुज DEF का क्षेत्रफल = 1/2 [{1 (2 – 1)} + {1(1 – 0)} + {0(0 – 2)}]
=1/2[{1×1}+{1×1}+{0×–2}]
= 1/2 [1 + 1 + 0]
=1/2×2
= 1
अत: ∆DEF का क्षेत्रफल = 1 वर्ग मात्रक
अभीष्ट अनुपात = ∆DEF का क्षेत्रफल/∆ABC का क्षेत्रफल
= ¼
अत: ∆ DEF तथा ∆ABC के क्षेत्रफल का अनुपात = 1:4
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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