Question

दिखाइए कि $(\sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ और $(-\sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ बिंदुओं से रेखा $\dfrac{x}{a}\cos\theta + \dfrac{y}{b}\sin\theta = 1$ पर खींचे गये लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $b^2$ हैं।

Answer 1

दिखाया की   √a² - b² , 0  और  -√a² - b² , 0 बिंदुओं से रेखा  xCosθ/a  + ySinθ/b  = 1   पर खींचे गये लंबों की लंबाइयों का गुणनफल  b² है

Step-by-step explanation:

बिंदु ( x₁ , y₁) की रेखा Ax + By + c = 0  से लंबवत दूरी

= | Ax₁ + By₁ + c|  /√(A² + B²)

रेखा  xCosθ/a  + ySinθ/b  = 1

=> (Cosθ/a)x  + (Sinθ/b)y - 1 = 0

=> A = Cosθ/a  B = Sinθ/b   c = - 1

बिंदु  √a² - b² , 0    की   रेखा  xCosθ/a  + ySinθ/b  = 1  से लंबवत दूरी

=    | (Cosθ/a)√(a² - b²) + (Sinθ/b)*0  - 1| /√( (Cosθ/a)² +  (Sinθ/b)²

=  | (Cosθ/a)√(a² - b²)    - 1| /√( (Cosθ/a)² +  (Sinθ/b)²

बिंदु  -√a² -  b² , 0    की   रेखा  xCosθ/a  + ySinθ/b  = 1  से लंबवत दूरी

=  | (Cosθ/a)(-√(a² + b²))    - 1| /√( (Cosθ/a)² +  (Sinθ/b)²

| (Cosθ/a)√(a² - b²)    - 1| /√( (Cosθ/a)² +  (Sinθ/b)²  *  | -(Cosθ/a)√(a² - b²)    - 1| /√( (Cosθ/a)² +  (Sinθ/b)²

| -x| = |x|

= | (Cosθ/a)√(a² - b²)    - 1| /√( (Cosθ/a)² +  (Sinθ/b)²  *  | (Cosθ/a)√(a² - b²)  + 1| /√( (Cosθ/a)² +  (Sinθ/b)²

=  |(Cos²θ/a²)(a² - b²)  - 1 | /  (Cosθ/a)² +  (Sinθ/b)²

= (|(Cos²θ)(a² - b²)  - a² |) b² / (b²Cos²θ + a²Sin²θ)

= |a²Cos²θ - a² - b²Cos²θ| b²/ (b²Cos²θ + a²Sin²θ)

=  |-a²Sin²θ - b²Cos²θ| b²/ (b²Cos²θ + a²Sin²θ)

=  |a²Sin²θ + b²Cos²θ| b²/ (b²Cos²θ + a²Sin²θ)

= b²

QED

इति सिद्धम

दिखाया की   √a² - b² , 0  और  -√a² - b² , 0 बिंदुओं से रेखा  xCosθ/a  + ySinθ/b  = 1   पर खींचे गये लंबों की लंबाइयों का गुणनफल  b² है

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