Question

यदि a, b, c तथा d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो दिखाइए कि $(a^2 + b^2 + c^2) (b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2$.

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

मान लो के सार्व अनुपात r है |  

प्रश्न के अनुसार, b = ar, c =ar^2 और d = ar^3

LHS = (a^2 + b^2 + c^2) ( b^2 + c^2 + d^2 )

= [ a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2] [(ar)^2 +  (ar^2)^2 + (ar^3)^2 ]

= [ a^2 + a^2 r^2 + a^2 r^4 ] [  a^2 r^2 + a^2 r^4 +  a^2 r^6 ]

= a^2 [ 1 + r^2 + r^4 ] a^2 r^2 [ 1 + r^2 + r^4]

= a^2 r^2  [ 1 + r^2 + r^4 ]^2               ..... (1)

RHS = (ab + bc + cd )^2

= [a(ar) + (ar)(ar^2) + (ar)^2(ar^3)]^2

=[ a^2 r +a^2 r^3 + a^2 r^5 ]^2

= [ a^2 r  (1 + r^2 + r^4 )]^2

= a^2 r^2  [ 1 + r^2 + r^4 ]^2                  ..... (2)

समीकरण (1) और (2) से, हम पाते है (a^2 + b^2 + c^2) ( b^2 + c^2 + d^2 ) =  (ab + bc + cd )^2

Answer 2

दिखाया की  (a² + b² + c²)(b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)² यदि a, b, c तथा d गुणोत्तर श्रेणी में हैं

Step-by-step explanation:

माना सार्व अनुपात = r

b = ar

c = br  = ar²

d = cr = ar³

(a² + b² + c²)(b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)²

LHS

= (a² + b² + c²)(b² + c² + d²)

= (a² + (ar)² + (ar²)²)((ar)² + (ar²)² + (ar³)²)

= (a² + a²r² + a²r⁴)(a²r² + a²r⁴ + a²r⁶)

= a²(1 + r² + r⁴)a²r²(1 + r² + r⁴)

= a⁴r²(1 + r² + r⁴)²

RHS

= (ab + bc + cd)²

= (aar  + arar² + ar²ar³)²

= (a²r + a²r³ + a²r⁵)²

= ((a²r)(1 + r² + r⁴))²

= a⁴r²(1 + r² + r⁴)²

LHS = RHS

QED

इति सिद्धम

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