Question

यदि $x^2 - 3x + p = 0$ के मूल a तथा b हैं तथा $x^2 - 12x + q = 0$ के मूल c तथा d हैं, जहाँ a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी के रूप में हैं। सिद्ध कीजिए कि $(q + p) : (q - p) = 17:15$

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

समीकरण    $x^2-3x+p=0$ के मूल  a  तथा  b  है अतः  

  a + b  =  3   तथा    ab  =  p                 ........(i)

पुनः  $x^2-12x+q=0$  समीकरण  के मूल  c  तथा  d है  अतः  

 c + d  =  12  तथा  cd  =  q                   .......(ii)

       

     $\frac{d}{c} =\frac{c}{b} =\frac{b}{a} =r\\\\b=ar,c=br=ar^2 , d=cr=ar^3$

ये मान समीकरण  (i)  व  (ii)  में रखने पर

$=>\left \{ {{a+ar=3 , a.ar=p} \atop {ar^2+ar^3=12, ar^2.ar^3=q}} \right. \\\\=>\left \{ {{a(1+r)=3,a^2r=p} \atop {ar^2(1+r)=12,a^2r^5=q}}$

$2a^2=p\\32a^2=q$

तथा

$r^2=4\\\\r=2\\\\\frac{p}{q} =\frac{2}{32} =\frac{1}{16} \\\\\frac{q}{p} =\frac{16}{1} \\\\\frac{q+p}{q-p} =\frac{16+1}{16-1} =\frac{17}{15} \\\\\frac{q+p}{q-p} =\frac{17}{15}$

Answer 2

सिद्ध किया की (q + p):(q - p) = 17 : 15 यदि x² - 3x + p  के मूल a तथा b हैं  तथा x² - 12x + q  के मूल c तथा d हैं जहाँ a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी के रूप में हैं

Step-by-step explanation:

x² - 3x + p  के मूल a तथा b हैं

=> a + b = 3

ab = p

x² - 12x + q  के मूल c तथा d हैं

=> c + d = 12

cd = q

a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी के रूप में हैं

माना  सार्व अनुपात = r  

=> b = ar  , c = ar² , d = ar³

a + ar = 3

=> a(1 + r) = 3

ar² + ar³ = 12

=> ar²(1 + r) = 12

=> ar²(1 + r) / a(1 + r) = 12/3

=> r² = 4

=> r⁴ = 16

(q + p)/(q - p)

= (cd + ab)/(cd - ab)

= (ar²ar³  + aar)/(ar²ar³  - aar)

= a²r(r⁴ + 1)/a²r(r⁴ - 1)

= (r⁴ + 1)/(r⁴ - 1)

= (16 + 1)/(16 - 1)

= 17/15

QED

इति सिद्धम

सिद्ध किया की यदि x² - 3x + p  के मूल a तथा b हैं  तथा x² - 12x + q  के मूल c तथा d हैं   तो  (q + p):(q - p) = 17 : 15

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