100 cm^{3} आयतन वाले डिब्बे सभी बेलनाकार (लम्ब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
Answers
Given : बेलनाकार डिब्बे की आयतन = 100 cm³
To find : सिद्ध कीजिए कि महत्तम आयतन के लम्बवृत्तीय बेलन की ऊँचाई , उसके आधार के व्यास के बराबर है
Solution:
बेलन का आयतन V = πr²h = 100
बेलन के आधार की त्रिज्या = r
बेलन की ऊँचाई = h = V/ πr² = 100/πr²
बेलन का पृष्ठ क्षेत्रफल A = 2πrh + 2πr²
A = 2πr(100/ πr²) + 2πr²
=> A = 200/r + 2πr²
dA/dr = -200/r² + 4πr
dA/dr = 0
=> -200/r² + 4πr = 0
=> r³ = 50/π
d²A/dr² = 400/r³ + 4π > 0
=>r³ = 50/π पर न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल
r = ∛(50/π/) cm
h = 100/ πr² => h = 2∛(50/π/)
डिब्बे की विमाएँ ∛(50/π/) cm , 2∛(50/π/) cm
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