Question

किसी गुणोत्तर श्रेणी में S, n पदों का योग, P उनका गुणनफल तथा R उनके व्युत्क्रमों का योग हो तो सिद्ध कीजिए कि $P^2 R^n = S^n$

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

मान लो के  

किसी गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद a और सामान्य अनुपात r है |

प्रश्न के अनुसार,

S = a (r^n - 1 )/ r - 1

P = a.ar.ar^2.ar^3 ...ar^n-1 = a^nr^1+2+3+...+(n+1) = a^nr^[(n-1)n/2]

और R = 1/a + 1/ar + 1/ar^2 + 1/ar^3 + ... + 1/ar^n-1  

= r^n-1 + r^n-2 + r^n-3 + r^n-4 + ... + 1/ ar^n-1

= 1/ar^n-1 [r^n - 1 / r - 1 ]

अब, LHS = P^2 R^n = [ a^n r^[(n-1)n/2]^2 [1/ar^n-1 ( r^n - 1 / r - 1) ]^n      

= [a^2n r^n(n-1)] [ 1/ a^n r^n(n-1) (r^n - 1/ r - 1)^n ]

= [a^n] [ (r^n - 1/ r - 1)^n ]  

= [ a (r^n - 1)/ r - 1 ]^n

= S^n

= RHS        

Answer 2

सिद्ध   किया की  P² Rⁿ  =  Sⁿ यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी में S, n पदों का योग, P उनका गुणनफल तथा R उनके व्युत्क्रमों का योग हो

Step-by-step explanation:

गुणोत्तर श्रेणी

a  , ar  , ar² ...............................arⁿ⁻¹

n पदों का योग = a(rⁿ - 1)/(r - 1)  = S

P = a * ar  * ar² *...................................* arⁿ⁻¹

P = aⁿ r⁽¹⁺²⁺        ⁺ⁿ⁻¹⁾

1  + 2 + .....................+ n-1

= (n-1)n/2

$P = a^nr^{(n)(n-1)/2}$

=> P² = a²ⁿ rⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾

R  = 1/a  + 1/ar  + 1/ar²  +............................+ 1/arⁿ⁻¹

R = (1/a) (1/rⁿ - 1)/(1/r - 1)

R = (1/a) (1 - rⁿ)/(1 - r)rⁿ⁻¹

R = (1/a) (rⁿ - 1)/(r - 1)rⁿ⁻¹

Rⁿ = (1/aⁿ) (rⁿ - 1)ⁿ/(r - 1)ⁿrⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾

P² Rⁿ  = a²ⁿ rⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ (1/aⁿ) (rⁿ - 1)ⁿ/(r - 1)ⁿrⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾

=> P² Rⁿ  =  aⁿ(rⁿ - 1)ⁿ/(r - 1)ⁿ

=>  P² Rⁿ  =  (a(rⁿ - 1)/(r - 1) )ⁿ

=>   P² Rⁿ  =  Sⁿ

QED

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