Question

किसी समांतर श्रेणी का $p^{th}$, $q^{th}$ $r^{th}$पद क्रमशः a, b, c हैं, तो सिद्ध कीजिए
$(q – r )a + (r – p )b + (p – q )c = 0$

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

मान लो के  

किसी समांतर श्रेणी का प्रथम पद A और D सामान्य अंतर है |

प्रश्न के अनुसार,

A_p = A + (p-1) D = a     ...(1)

A_q = A + (q-1) D = b     ...(2)

A_r = A + (r-1) D   = c     ...(3)

अब, LHS = (q - r) a + (r - p) b + (p - q) c

= ( q - r ) [A + (p-1) D ] + ( r - p) [ A + ( q - 1) D ] + (p - q) [ A + ( r - 1) D]

= ( q - r ) A + ( q - r) ( p-1)D + (r - p)A + ( r - p ) ( q - 1 ) D + ( p - q ) A + ( p - q ) ( r - 1 ) D ]

= A ( q - r + r - p + p - q) + D [(q - r) ( p - 1) + ( r - p) (q-1) + (p - q) ( r - 1) ]

= A (0) + D [ pq - q - pr + r + qr - r - pq + p + pr - p - qr + q ]

= 0 + D (0) = 0 = RHS            

Answer 2

सिद्ध किया की (q – r )a + (r – p )b + (p – q )c = 0  यदि किसी समांतर श्रेणी का  pth , qth , rth पद क्रमशः a, b, c हैं,

Step-by-step explanation:

समांतर श्रेणी

प्रथम  पद  = A

सार्व अंतर = d

pth = A + (p - 1)d  = a    Eq1

qth = A + (q - 1)d  = b    Eq2

rth = A + (r - 1)d  = c       Eq3

सिद्ध करना है

(q – r )a + (r – p )b + (p – q )c = 0

Eq2 - Eq3  => (q - r)d  = (b-c)   => q - r = (b - c)/d

इसी प्रकार   r - p  = (c - a)/d

p - q = (a  - b)/d

LHS

= (q – r )a + (r – p )b + (p – q )c

= a(b - c)/d  + b (c - a)/d + c(a  - b)/d

= (1/d) (ab  - ac  + bc  - ab  + ac - bc)

= (1/d) (0)

= 0

= RHS

QED

इति सिद्धम  

(q – r )a + (r – p )b + (p – q )c = 0  यदि किसी समांतर श्रेणी का  pth , qth , rth पद क्रमशः a, b, c हैं,

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