Question

यदि $a \left(\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right) + b \left(\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a}\right) + c \left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right)$ समांतर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a,b,c समांतर श्रेणी में हैं।

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

प्रश्नानुसार   $a(\frac{1}{b} +\frac{1}{c} ),b(\frac{1}{c} +\frac{1}{a} )$   तथा   $c(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} )$समांतर श्रेढ़ी में है।  

सभी पदों में   1  जोड़ने पर  

   

$a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c} )+1,b(\frac{1}{c} +\frac{1}{a} )+1,c(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} )+1$  समांतर श्रेढ़ी में है।

 

$\frac{ac+ab}{bc} +1,\frac{ab+bc}{ac} +1,\frac{bc+ac}{ab} +1$  समांतर श्रेढ़ी में है।  

$\frac{ac+ab+bc}{bc} ,\frac{ab+bc+ac}{ab} ,\frac{bc+ac+ab}{ab}$  समांतर श्रेढ़ी में है।  

प्रत्येक पद में  ab + bc + ca  से भाग देने पर  

⇒  $\frac{1}{bc} ,\frac{1}{ca} ,\frac{1}{ab}$भी समांतर श्रेढ़ी में है।  

प्रत्येक पद को  abc  से गुणा करने पर  

⇒  $\frac{abc}{bc},\frac{abc}{ca}  ,\frac{abc}{ab}$ समांतर श्रेढ़ी में है।  

⇒ a,b,c समांतर श्रेढ़ी में है।

Answer 2

सिद्ध किया की a , b , c समांतर श्रेणी में हैं यदि  a(1/b + 1/c)  ,  b(1/c + 1/a )  , c(1/a + 1/b) समांतर श्रेणी में हैं

Step-by-step explanation:

a(1/b + 1/c)  ,  b(1/c + 1/a )  , c(1/a + 1/b) समांतर श्रेणी में हैं

=> a(1/b + 1/c) + 1 ,  b(1/c + 1/a ) + 1 , c(1/a + 1/b)  + 1 समांतर श्रेणी में हैं

=> a(1/b + 1/c) + a/a  , b(1/c + 1/a ) + b/b , c(1/a + 1/b)  + c/c समांतर श्रेणी में हैं

=> a( 1/b + 1/c + 1/a)  , b(1/c + 1/a + 1/b )  , c(1/a + 1/b + 1/c) समांतर श्रेणी में हैं

=> a(1/a + 1/b + 1/c) , b(1/a + 1/b + 1/c)  , c(1/a + 1/b + 1/c)  समांतर श्रेणी में हैं

(1/a + 1/b + 1/c) से विभाजित करने पर

=> a , b , c समांतर श्रेणी में हैं

QED

इति सिद्धम

सिद्ध किया की a , b , c समांतर श्रेणी में हैं यदि  a(1/b + 1/c)  ,  b(1/c + 1/a )  , c(1/a + 1/b) समांतर श्रेणी में हैं

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