Question

मान लीजिए : R￫R; f (x) = x⁴ द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए।
(a) ???? एकैकी आच्छादक है।
(b) ???? बहुएक आच्छादक है।
(c) ???? एकैकी है किन्तु आच्छादक नहीं है,
(d) ???? न तो एकैकी है और न आच्छादक है।

Answer 1

Given : R￫R; f (x) = x⁴ द्वारा परिभाषित है

To find :    सही उत्तर का चयन कीजिए

Solution :

एकैकी  (one-one)   अथवा एकैक  (injective)  फलन   यदि प्रत्येक x₁  , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की   x₁  =  x₂

अनयथा फलन एक बहुएक (many - one) कहलाता है

आच्छादक  (onto ) अथवा आच्छादी  (surjective)  फलन   यदि  प्रत्येक y  ∈ Y के लिए

X     में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की  f(x) = y

 एकैकी तथा  आच्छादक (one-one and onto )  => एकैकी आच्छादी  ( bijective)  -(injective and surjective)

 

 

 f(x) = x⁴

f(x₁)    = x₁⁴

f(x₂)    = x₂⁴

f(x₁)   = f(x₂)

=> x₁⁴ =  x₂⁴

=> x₁ = ±  x₂

=>  प्रत्येक x₁  , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य  नहीं  है की   x₁  =  x₂

=> फलन एकैकी    , एकैक (Injective)  नहीं  है

f(x) = y    y ∈ R

x⁴ = y

x =   ±$\sqrt[4]{y}$

y =  - 16

x =  ±2i  ∉ R

=>  प्रत्येक y  ∈ Y के लिए  

  X   में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व नहीं  है की  f(x) = y

=>  फलन  आच्छादक (surjective ) नहीं    है

 फलन    न तो एकैकी है और न आच्छादक है

(d)

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