सिद्ध कीजिए कि दिए हुए सम्पूर्ण पृष्ठ और महत्तम आयतन के लम्बवृत्तीय बेलन की ऊँचाई , उसके आधार के व्यास के बराबर है।
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Given : बेलन सम्पूर्ण पृष्ठ
To find : सिद्ध कीजिए कि महत्तम आयतन के लम्बवृत्तीय बेलन की ऊँचाई , उसके आधार के व्यास के बराबर है
Solution:
बेलन सम्पूर्ण पृष्ठ = S
बेलन के आधार की त्रिज्या = r
बेलन की ऊँचाई = h
S = 2πrh + 2πr²
=> h = (S - 2πr²)/2πr
बेलन का आयतन V = πr²h
= πr² (S - 2πr²)/2πr
= r (S - 2πr²)/2
= rS/2 - πr³
V = rS/2 - πr³
dV/dr = S/2 - 3πr²
dV/dr = 0
=> S/2 - 3πr² = 0
=> r² = S/6π
d²V/dr² = -6πr < 0
=> r² = S/6π पर V महत्तम
=> S = 6πr²
h = (6πr² - 2πr²)/2πr
=> h = 4πr² /2πr
=> h = 2r
=> बेलन की ऊँचाई = बेलन के आधार के व्यास
इति सिद्धम महत्तम आयतन के लम्बवृत्तीय बेलन की ऊँचाई , उसके आधार के व्यास के बराबर है।
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