Question

यदि A तथा G दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य हों, तो सिद्ध कीजिए कि संख्याएँ $A \pm \sqrt{(A+G)(A-G)$ हैं।

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

माना कि दो संख्याएं  a  तथा   b  है।  

∴

 $\frac{a+b}{2} =A$        .....(i)

तथा      $\sqrt{ab} =G$     ........(ii)

∴

  $A^2-G^2=(\frac{a+b}{2} )^2-(\sqrt{ab} )^2\\\\=\frac{(a+b)^2}{4} -ab\\\\=\frac{(a+b)^2-4ab}{4}\\ \\=\frac{(a-b)^2}{4}\\ \\\frac{a-b}{2} =\pm\sqrt{A^2-G^2} ...(iii)$

समीकरण  (i)  व  (iii)  को जोड़ने पर  

 $a=A+\sqrt{A^2-G^2}$

तथा   (i)  में से  (iii)  को घटाने पर  

$b=A-\sqrt{A^2-G^2}$

अर्थात  वे संख्याएँ

  $=A\pm\sqrt{A^2-G^2}\\ \\=A\pm\sqrt{(A+G)(A-G)}$

Answer 2

दिखाया की संख्याएँ  A  ± √(A + G)(A - G)   हैं यदि A तथा G दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य हों

Step-by-step explanation:

माना दो संख्या  x तथा y  

x तथा y के बीच गुणोत्तर माध्य  

G = √xy

दोनों तरफ वर्ग लेने पर

G² = xy

=> y = G²/x

x तथा y के बीच  समांतर माध्य

A = (x + y)/2

=> x + y  = 2A

दोनों तरफ वर्ग लेने पर

A² = (x² + y² + 2xy)/4

=> 4A² = x² + y² + 2xy

=> 4A² - 4xy = x² + y² + 2xy - 4xy

=> 4A² - 4G² = (x - y)²

=> (x - y)  = ±2√A² - G²

=> (x - y)  = ±2√(A + G)(A - G)

x + y  = 2A

(x - y)  = ±2√(A + G)(A - G)

2x   = 2A ±2√(A + G)(A - G)

=> x  = A ± √(A + G)(A - G)

A ± √(A + G)(A - G) + y = 2A

=> y = A  ± √(A + G)(A - G)

संख्याएँ  A  ± √(A + G)(A - G)   हैं यदि A तथा G दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य हों

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